Soit \((x_n)_{n\in{\Bbb N}}\) une suite de Cauchy sur un espace vectoriel normé.
Montrer que, quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que :$$\forall n\in{\Bbb N},\quad\lVert x_{n+1}-x_n\rVert\leqslant2^{-n}$$(Dans la correction, on notera la suite \((\Phi(f_n))_{n\in\Bbb N}\) et on utiliser la norme \(\lVert\cdot\rVert_\infty\).)

On veut pour cela définir une bonne extraction de la suite.

En utilisant le fait que la suite est de Cauchy, on prend \(N_0\) le plus petit indice tel que la distance entre tous les termes suivants est plus petite que \(1\).

On définit de la même façon \(\psi(1)\), en s'assurant via un \(\max\) que \(\psi(1)\gt \psi(0)\).

On définit ainsi \(\psi\) par récurrence (écrire l'hérédité !).

Pour cela, on va montrer que la série de la définition converge absolument.

On montre cela en passant par \(\Phi\) et en utilisant la majoration de la question précédente.

On conclut par le fait qu'on est dans un Espace de Banach.